SOLUCIÓN AL PROBLEMA DE LA LATA.



EJERCICIOS DE OPTIMIZACION.

1) Una hoja de papel debe tener 18 cm² de texto impreso, márgenes superior e inferior de 2 cm de altura y márgenes laterales de 1 cm de anchura. Obtener razonadamente las dimensiones que minimizan la superficie del papel.

SOLUCIÓN.

2) Hallar las dimensiones del mayor rectángulo inscrito en un triángulo isósceles que tiene por base 10 cm y por altura 15 cm.

Al tener dos triángulos semejantes se cumple que:



CRITERIO DE LA PRIMERA Y SEGUNDA DERIVADA Y DEFINICION DE EXTREMOS.

Primera derivada.

 La base del presente criterio radica en observar que los máximos o mínimos locales son consecuencia de observar los siguientes hechos:

 

1.- Cuando la derivada es positiva la función crece.

2.- Cuando la derivada es negativa la función decrece.

3.- Cuando la derivada es cero la función tiene un máximo o un mínimo.

 

Sea f(x) una función y c un número en su dominio. Supongamos que existe a y b  con a<c<b tales que

 

1.-  f es continua en el intervalo abierto (a,b) (de acuerdo con el teorema de Rolle)

2.- f es derivable en el intervalo abierto (a,b), excepto quizá en c;

3.- f´(x) es positiva para todo x<c en el intervalo y negativa para todo x>c en el intervalo.

 

Entonces f tiene un máximo local en c.

 

Nótese que un criterio similar puede tenerse para obtener un mínimo local, solo es necesario intercambiar  “positivo”  por “negativo”.

la función entre el intervalo (-1,1) tiene un cambio de signo, sin embargo, la función no es diferenciable en el punto x = 0, pese a eso si existe un mínimo local.

Segunda derivada:

Se deriva el primer componente por el segundo componente sin derivar más el primer componente sin derivar por la derivada del segundo componente por la derivada del exponente si fuese el caso.

Ejm:

Y= 20+e/3^{-2x exp3}

Y=20+1/3e^{-2x exp3}

Derivar

Y’ =0+1/3*e^{-2x exp3}*(-6x²)

Y´=2x²*e^{-2x exp3}

Se deriva nuevamente, esa es la segunda derivada:

Y´´= -4x*e^{-2x exp3}+ (-2x²)* e^{-2x exp3}*(-6x²) 

             a´              b             a           b´

y´´= -4xe^{-2x exp3}+12x⁴e^{-2x exp3} Se puede factoriza.

Definición de extremos:

Sea f una función definida en un intervalo I que contiene al número C.

1. f(c) es el mínimo de f en el intervalo I si

f (c) es< o = f(x) para todo x en el intervalo.

2. f(c) es el máximo de f en I si

f(c)> o = f(x) para todo x en I.

A veces se les llama mínimos y máximos absolutos.

DIFERENTES CASOS DE LAS DERIVADAS.

Aquí voy a explicar un poco los diferentes casos de las derivas.

La derivada de una función constante: es cero (0).

Ejm:

1)f (x)=4

f  ´(x)=0

2)f (x)=123

f  ´(x)=0

Derivada exponencial: Es igual al exponente por la variable elevado a una unidad menos.

Ejm:

1)f(x)= 5x³

f´(x)= 3*5x^3-1

f´(x)=15x²

2)f(x)= 2x⁵⁶²

f´(x)= 562*2x^562-1

f´(x)=1124x⁵⁶¹

Derivada de una raíz: Es colocar el índice de la raíz como denominador de una función exponencial y se resuelve como si fuera una derivada de tipo exponencial y se multiplica por la derivada de la base.

Ejm:

y= Raíz cubica de x⁵  ---------------   x^5/3

y´= 5/3*x^5/3-1*1(Uno es la derivada de la base).

Derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador por el denominador menos la derivada del denominador por el numerador, divididas por el cuadrado del denominador.

Y=u/v^{32.-­­­­­­­­­-}-------------------- y´= u´*v-u*v´/v²

·         y= (5x²-x)/ (3x⁴-2)

y´= (10x-1)*(3x⁴-2)-(5x²-x)*(12x³)/(3x⁴-2)² R/

·         y= (3x²+4)³/(5x³-x)

y´=3(x²+4)²(6x)*(5x³-x)-( 3x²+4)³*(15x²-1)/(5x³-x)²

Derivación en cadena: Sea f(x)= f(g(x)) ­­­­­­­­­­­­­­­­­­^{________________}f´(x)=f´(g(x))*g´(x)

y= Raíz cuadrada de 3x²-1

y= (3x²-1)^1/2

y= ½(3x²-1)^1/2-1*6x

y= 3x*(3x²-1)^1/2

MALLA

OBJETIVO DE GRADO:

Estudiar funciones de variable real, límites y  derivadas, como conceptos básicos para resolver problemas de la vida, que involucren minimizar o maximizar cantidades, costos, áreas, tiempo.

PREGUNTA PROBLEMATIZADORA:

¿CUÁLES DEBEN SER LAS DIMENSIONES ÓPTIMAS PARA QUE EL COSTO DEL MATERIAL EMPLEADO EN UNA LATA DE CERVEZA, COCACOLA O ATÚN SEA MINIMO?

CONCUSIONES.

• Es la misma pregunta problematizadora para todos los periodos, entonces todas las tematicas vistas en el año ayudarán para resolver el problema.
•  El objetivo es un resumen de todo lo que se estudiará en el año, pero mas que eso, es lo que se pretende que el estudiante aprenda, dando como resultado un joven con buenas competencias en el área de matemáticas.
• Se busca que todos los temas aprendidos se puedan utilizar en la vida cotidiana para mostrar la importancia de las matamáticas.
• La pregunta problematizadora demuestra que las matemáticas sirven mucho para sar solución a problemas de la vida diaria.

GRADO:        ONCE PERIODO:    PRIMERO

INTENSIDAD HORARIA :   3 horas semanales DOCENTE:                           GUILLERMO LEÓN ROLDÁN SOSA

OBJETIVO DE GRADO: Estudiar funciones de variable real, límites y  derivadas, como conceptos básicos para resolver problemas de la vida, que involucren minimizar o maximizar cantidades, costos, áreas, tiempo.

PREGUNTA PROBLEMATIZADORA: ¿CUÁLES DEBEN SER LAS DIMENSIONES ÓPTIMAS PARA QUE EL COSTO DEL MATERIAL EMPLEADO EN UNA LATA DE CERVEZA, COCACOLA O ATÚN SEA MINIMO?

CONTENIDOS

ESTANDARES

COMPETENCIAS

LOGROS

INDICADORES DE DESEMPEÑO

INSTANCIAS VERIFICADORAS

ACCIONES EVALUATIVAS

FECHAS

Desigualdades e Inecuaciones. Axiomas de orden en R. Intervalos. Propiedades de las desigualdades Problemas. VALOR ABSOLUTO. Definición. Propiedades. Ejercicios FUNCIONES. Definición. Funciones básicas Dominio, Rango Problemas de la vida.

Pensamiento numérico y sistemas numéricos Pensamiento variacional   y sistemas algebraicos y analíticos

Formular, plantear, transformar y resolver problemas a partir de situaciones de la vida cotidiana, de las otras ciencias y de las matemáticas mismas. Utilizar diferentes registros de representación o sistemas de notación simbólica para crear, expresar y representar ideas matemáticas; para utilizar y transformar dichas representaciones y, con ellas, formular y sustentar puntos de vista Usar la argumentación, la prueba y la refutación, el ejemplo y el contraejemplo, como medios de validar y rechazar conjeturas, y avanzar en el camino hacia la demostración. Dominar procedimientos y algoritmos matemáticos y conocer cómo, cuándo y porqué usarlos de manera  flexible y eficaz.

Resolver inecuaciones por  el método del cementerio Y el método analítico. Resolver ecuaciones e inecuación que contienen valores absolutos. Aplicar la definición de función a diferentes relaciones. Resolver problemas que involucran funciones.

Resuelve inecuaciones por  el método del cementerio Y el método analítico. Resuelve ecuaciones e inecuación que contienen valores absolutos. Aplica la definición de función a diferentes Resuelve problemas que involucran funciones.

1. La solución de inecuaciones por  el método del cementerio Y el método analítico. 2. La solución de   ecuaciones e inecuación que contienen valores absolutos. 3.  La aplicación de  la definición de función a diferentes relaciones 4. La solución a problemas que involucran funciones. El valor y el respeto al trabajo y la participación del otro, en todos los ámbitos académicos y de convivencia.

Evaluación escrita Evaluación escrita Evaluación escrita Evaluación escrita .

Semana 4 Semana 5 Semana 6 Semana 8

GRADO:        ONCE PERIODO:     SEGUNDO

INTENSIDAD HORARIA :    3 horas semanales DOCENTE:                            GUILLERMO LEÓN ROLDÁN SOSA

OBJETIVO DE GRADO: Estudiar funciones de variable real, límites y  derivadas, como conceptos básicos para resolver problemas de la vida, que involucren minimizar o maximizar cantidades, costos, áreas, tiempo.

PREGUNTA PROBLEMATIZADORA: ¿CUÁLES DEBEN SER LAS DIMENSIONES ÓPTIMAS PARA QUE EL COSTO DEL MATERIAL EMPLEADO EN UNA LATA DE CERVEZA, COCACOLA O ATÚN SEA MINIMO?

CONTENIDOS

ESTANDARES

COMPETENCIAS

LOGROS

INDICADORES DE DESEMPEÑO

INSTANCIAS VERIFICADORAS

ACCIONES EVALUATIVAS

FECHAS

Transformación de funciones. Desplazamientos Verticales. Desplazamiento horizontal. Reflexión. Estiramiento y acortamiento vertical. Acortamiento y alargamiento horizontal. Función par e impar. Dominio, Rango. Interceptos. Función uno a uno Y sobre. Función Inyectiva. Función Inversa.

Pensamiento numérico y sistemas numéricos Pensamiento variacional   y sistemas algebraicos y analíticos

Formular, plantear, transformar y resolver problemas a partir de situaciones de la vida cotidiana, de las otras ciencias y de las matemáticas mismas. Utilizar diferentes registros de representación o sistemas de notación simbólica para crear, expresar y representar ideas matemáticas; para utilizar y transformar dichas representaciones y, con ellas, formular y sustentar puntos de vista Usar la argumentación, la prueba y la refutación, el ejemplo y el contraejemplo, como medios de validar y rechazar conjeturas, y avanzar en el camino hacia la demostración. Dominar procedimientos y algoritmos matemáticos y conocer cómo, cuándo y porqué usarlos de manera  flexible y eficaz.

Graficar funciones partiendo de funciones básicas, empleando los conceptos de traslación, estiramiento, encogimiento y reflexión. Determinar el Dominio, el Rango y los intersectos de una función. Identificar, clasificar una función en par o impar. Identificar si una función tiene inversa y calcularla.

Grafica funciones partiendo de funciones básicas, empleando los conceptos de traslación, estiramiento, encogimiento y reflexión. Determina el Dominio, el Rango y los intersectos de una función. Identifica, clasifica una función en par o impar. Identifica si una función tiene inversa y la calcula

1. La gráfica de una función usando funciones básicas, desplazamientos verticales y horizontales. 2. La gráfica de una función usando funciones básicas, alargamientos y reflexiones verticales y horizontales 3. El cálculo del Dominio, Rango, Interceptos. 4. La determinación si la gráfica de una FUNCIÓN es inyectiva y, si por lo tanto tiene Inversa. . El valor y el respeto al trabajo y la participación del otro, en todos los ámbitos académicos y de convivencia.

Evaluación escrita Evaluación escrita Evaluación escrita Evaluación escrita .

Semana 4 Semana 5 Semana 6 Semana 8

RECURSOS PEDAGOGICOS Ordenadores, programas o proyectos virtuales como DESCARTES y GEOGEBRA, DVD’, sala de informática, Internet, libros virtuales, papel cuadriculado, lápiz, reglas, escuadras, libros , fotocopias, borradores, tizas, marcadores, GRUPO GALOIS.

GRADO:        ONCE PERIODO:     TERCERO

INTENSIDAD HORARIA :    3 horas semanales DOCENTE:                            GUILLERMO LEÓN ROLDÁN SOSA

OBJETIVO DE GRADO: Estudiar funciones de variable real, límites y  derivadas, como conceptos básicos para resolver problemas de la vida, que involucren minimizar o maximizar cantidades, costos, áreas, tiempo.

PREGUNTA PROBLEMATIZADORA: ¿CUÁLES DEBEN SER LAS DIMENSIONES ÓPTIMAS PARA QUE EL COSTO DEL MATERIAL EMPLEADO EN UNA LATA DE CERVEZA, COCACOLA O ATÚN SEA MINIMO?

CONTENIDOS

ESTANDARES

COMPETENCIAS

LOGROS

INDICADORES DE DESEMPEÑO

INSTANCIAS VERIFICADORAS

ACCIONES EVALUATIVAS

FECHAS

LIMITES. Definición, ejemplos, ejercicios Continuidad, Teorema del valor intermedio. DERIVADA. Recta tangente y normal a una curva. Velocidad instantánea. Definición de Derivada. Reglas de derivación. Regla de la cadena Derivada implícita.

Pensamiento numérico y sistemas numéricos Pensamiento variacional   y sistemas algebraicos y analíticos

Formular, plantear, transformar y resolver problemas a partir de situaciones de la vida cotidiana, de las otras ciencias y de las matemáticas mismas. Utilizar diferentes registros de representación o sistemas de notación simbólica para crear, expresar y representar ideas matemáticas; para utilizar y transformar dichas representaciones y, con ellas, formular y sustentar puntos de vista Usar la argumentación, la prueba y la refutación, el ejemplo y el contraejemplo, como medios de validar y rechazar conjeturas, y avanzar en el camino hacia la demostración. Dominar procedimientos y algoritmos matemáticos y conocer cómo, cuándo y porqué usarlos de manera  flexible y eficaz.

Calcular límites cuando la variable tiende a un valor finito. Eliminar indeterminaciones de la forma 0/0. Determinar la continuidad de una función. Calcular la derivada de funciones.

Calcula límites cuando la variable tiende a un valor finito. Elimina indeterminaciones de la forma 0/0. Determina la continuidad de una función. Calcula la derivada de funciones.

1. El cálculo de límites cuando la variable tiende a un valor finito. 2. La eliminación de indeterminaciones de la forma 0/0. 3. La determinación de la continuidad o no de una función. 4. El calcular la derivada de una función real. . El valor y el respeto al trabajo y la participación del otro, en todos los ámbitos académicos y de convivencia.

Evaluación escrita Evaluación escrita Evaluación escrita Evaluación escrita .

Semana 4 Semana 5 Semana 6 Semana 8

RECURSOS PEDAGOGICOS Ordenadores, programas o proyectos virtuales como DESCARTES y GEOGEBRA, DVD’, sala de informática, Internet, libros virtuales, papel cuadriculado, lápiz, reglas, escuadras, libros , fotocopias, borradores, tizas, marcadores, GRUPO GALOIS.

GRADO:        ONCE PERIODO:     CUARTO

INTENSIDAD HORARIA :    3 horas semanales DOCENTE:                            GUILLERMO LEÓN ROLDÁN SOSA

OBJETIVO DE GRADO: Estudiar funciones de variable real, límites y  derivadas, como conceptos básicos para resolver problemas de la vida, que involucren minimizar o maximizar cantidades, costos, áreas, tiempo.

PREGUNTA PROBLEMATIZADORA: ¿CUÁLES DEBEN SER LAS DIMENSIONES ÓPTIMAS PARA QUE EL COSTO DEL MATERIAL EMPLEADO EN UNA LATA DE CERVEZA, COCACOLA O ATÚN SEA MINIMO?

CONTENIDOS

ESTANDARES

COMPETENCIAS

LOGROS

INDICADORES DE DESEMPEÑO

INSTANCIAS VERIFICADORAS

ACCIONES EVALUATIVAS

FECHAS

APLICACIONES DE LA DERIVADA. Máximos y mínimos relativos y absolutos. Números críticos. Teorema del valor medio y el valor extremo. Criterios de la primera y segunda derivada Concavidad. Problemas de OPTIMIZACIÖN.

Pensamiento numérico y sistemas numéricos Pensamiento variacional   y sistemas algebraicos y analíticos

Formular, plantear, transformar y resolver problemas a partir de situaciones de la vida cotidiana, de las otras ciencias y de las matemáticas mismas. Utilizar diferentes registros de representación o sistemas de notación simbólica para crear, expresar y representar ideas matemáticas; para utilizar y transformar dichas representaciones y, con ellas, formular y sustentar puntos de vista Usar la argumentación, la prueba y la refutación, el ejemplo y el contraejemplo, como medios de validar y rechazar conjeturas, y avanzar en el camino hacia la demostración. Dominar procedimientos y algoritmos matemáticos y conocer cómo, cuándo y porqué usarlos de manera  flexible y eficaz.

Hallar máximos y mínimos relativos y absolutos de una función. Obtener valores críticos de una función. Determinar intervalos de crecimiento y decrecimiento. Determinar concavidad. Resolver problemas de Optimización

Halla máximos y mínimos relativos y absolutos de una función. Obtiene valores críticos de una función. Determina intervalos de crecimiento y decrecimiento. Determina concavidad. Resuelve problemas de Optimización

1. Los máximos y mínimos relativos y absolutos de una función. 2. Los valores críticos de una función. 3. Los intervalos de crecimiento y decrecimiento. La Determinación de la concavidad. 4. La solución de problemas de Optimización El valor y el respeto al trabajo y la participación del otro, en todos los ámbitos académicos y de convivencia.

Evaluación escrita Evaluación escrita Evaluación escrita Evaluación escrita .

Semana 4 Semana 5 Semana 6 Semana 8

RECURSOS PEDAGOGICOS Ordenadores, programas o proyectos virtuales como DESCARTES y GEOGEBRA, DVD’, sala de informática, Internet, libros virtuales, papel cuadriculado, lápiz, reglas, escuadras, libros , fotocopias, borradores, tizas, marcadores, GRUPO GALOIS.