SOLUCIÓN AL PROBLEMA DE LA LATA.



EJERCICIOS DE OPTIMIZACION.

1) Una hoja de papel debe tener 18 cm² de texto impreso, márgenes superior e inferior de 2 cm de altura y márgenes laterales de 1 cm de anchura. Obtener razonadamente las dimensiones que minimizan la superficie del papel.

SOLUCIÓN.

2) Hallar las dimensiones del mayor rectángulo inscrito en un triángulo isósceles que tiene por base 10 cm y por altura 15 cm.

Al tener dos triángulos semejantes se cumple que:



CRITERIO DE LA PRIMERA Y SEGUNDA DERIVADA Y DEFINICION DE EXTREMOS.

Primera derivada.

 La base del presente criterio radica en observar que los máximos o mínimos locales son consecuencia de observar los siguientes hechos:

 

1.- Cuando la derivada es positiva la función crece.

2.- Cuando la derivada es negativa la función decrece.

3.- Cuando la derivada es cero la función tiene un máximo o un mínimo.

 

Sea f(x) una función y c un número en su dominio. Supongamos que existe a y b  con a<c<b tales que

 

1.-  f es continua en el intervalo abierto (a,b) (de acuerdo con el teorema de Rolle)

2.- f es derivable en el intervalo abierto (a,b), excepto quizá en c;

3.- f´(x) es positiva para todo x<c en el intervalo y negativa para todo x>c en el intervalo.

 

Entonces f tiene un máximo local en c.

 

Nótese que un criterio similar puede tenerse para obtener un mínimo local, solo es necesario intercambiar  “positivo”  por “negativo”.

la función entre el intervalo (-1,1) tiene un cambio de signo, sin embargo, la función no es diferenciable en el punto x = 0, pese a eso si existe un mínimo local.

Segunda derivada:

Se deriva el primer componente por el segundo componente sin derivar más el primer componente sin derivar por la derivada del segundo componente por la derivada del exponente si fuese el caso.

Ejm:

Y= 20+e/3^{-2x exp3}

Y=20+1/3e^{-2x exp3}

Derivar

Y’ =0+1/3*e^{-2x exp3}*(-6x²)

Y´=2x²*e^{-2x exp3}

Se deriva nuevamente, esa es la segunda derivada:

Y´´= -4x*e^{-2x exp3}+ (-2x²)* e^{-2x exp3}*(-6x²) 

             a´              b             a           b´

y´´= -4xe^{-2x exp3}+12x⁴e^{-2x exp3} Se puede factoriza.

Definición de extremos:

Sea f una función definida en un intervalo I que contiene al número C.

1. f(c) es el mínimo de f en el intervalo I si

f (c) es< o = f(x) para todo x en el intervalo.

2. f(c) es el máximo de f en I si

f(c)> o = f(x) para todo x en I.

A veces se les llama mínimos y máximos absolutos.

DIFERENTES CASOS DE LAS DERIVADAS.

Aquí voy a explicar un poco los diferentes casos de las derivas.

La derivada de una función constante: es cero (0).

Ejm:

1)f (x)=4

f  ´(x)=0

2)f (x)=123

f  ´(x)=0

Derivada exponencial: Es igual al exponente por la variable elevado a una unidad menos.

Ejm:

1)f(x)= 5x³

f´(x)= 3*5x^3-1

f´(x)=15x²

2)f(x)= 2x⁵⁶²

f´(x)= 562*2x^562-1

f´(x)=1124x⁵⁶¹

Derivada de una raíz: Es colocar el índice de la raíz como denominador de una función exponencial y se resuelve como si fuera una derivada de tipo exponencial y se multiplica por la derivada de la base.

Ejm:

y= Raíz cubica de x⁵  ---------------   x^5/3

y´= 5/3*x^5/3-1*1(Uno es la derivada de la base).

Derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador por el denominador menos la derivada del denominador por el numerador, divididas por el cuadrado del denominador.

Y=u/v^{32.-­­­­­­­­­-}-------------------- y´= u´*v-u*v´/v²

·         y= (5x²-x)/ (3x⁴-2)

y´= (10x-1)*(3x⁴-2)-(5x²-x)*(12x³)/(3x⁴-2)² R/

·         y= (3x²+4)³/(5x³-x)

y´=3(x²+4)²(6x)*(5x³-x)-( 3x²+4)³*(15x²-1)/(5x³-x)²

Derivación en cadena: Sea f(x)= f(g(x)) ­­­­­­­­­­­­­­­­­­^{________________}f´(x)=f´(g(x))*g´(x)

y= Raíz cuadrada de 3x²-1

y= (3x²-1)^1/2

y= ½(3x²-1)^1/2-1*6x

y= 3x*(3x²-1)^1/2